Определителем или детерминантом порядка n называется число det A=|A|, которое ставится в соответствие каждой квадратной матрице А=(аij)nxn порядка n по следующим формулам:
при n=1 det A = |a11|=a11, при n=2 det A= =a11·a22 - a21·a12, (1)
При n>2
det A=|A|= =a11A11+a12A12+…+a1nA1n, (2)
где Aij=(-1)i+jMij, а Mij – минор элемента aij, т.е. определитель порядка (n-1), получаемый из |A| вычеркивания его i-ой строки и j-ого столбца на пересечении которых находится элемент aij. Число Aij называется алгебраическим дополнением элемента aij.
Для определителей третьего порядка из формулы (2) можно вывести следующее правило вычисления, известное как «правило треугольника»: определитель третьего порядка равен сумме произведений элементов, соединенных в треугольники на нижеследующем рисунке, взятых со знаками (+) или (–) соответственно.
Рис.1. Правило треугольника.
Исходя из вышесказанного, имеем:
|A|= = a11·a22·a33 + a21·a32·a13 + a12·a23·a31– a31·a22·a13 – a21·a12·a33 –a32·a23·a11 (3)
Замечание: Правило треугольника применимо для вычисления только определителей третьего порядка.
Рассмотрим примеры с решениями:
Пример 1. Вычислить определитель второго порядка:
|A|=
Решение: В силу формулы (1), имеем: =5·3-7·2=15-14=1
Пример 2. Вычислить определитель второго порядка:
|A|=
Решение: Очевидно, по формуле (1),
=(a + b)2–(a – b)2=a2 + 2ab + b2 – a2 + 2ab – b2 = 4ab.
Пример 3. Вычислить определитель третьего порядка: |A| = .
Решение. Используя правило треугольника по формуле (3), имеем:
=2·3·3 + 5·4·3 + 1·2·1 – 1·3·3 – 5·1·3 – 4·2·2 =18 + 60 + 2 – 9 – 5 – 16 = 80 – 40 = 40
Пример 4. Задана матрица А= .
1. Вычислить определитель |A|,
2. Найти миноры всех элементов aij,
3. Построить матрицу Ã=(Aij)3x3 из алгебраических дополнений элементов матрицы А.
Решение:
1. В примере 3 был вычислен |A| = 40.
2. |A|= .
Чтобы найти минор М11 к элементу а11=2, нужно вычеркнуть первую строку и первый столбец, на пересечении которых стоит элемент а11=2 и вычислить оставшийся определитель второго порядка. Таким образом,
М11= Аналогично найдем все оставшиеся миноры
Итак, М11= ; M12= ; M13= ;
M21= ; M22= ; M23= ;
M31= ; M32= ; M33= ;
3. Построим матрицу Ã=(Аij)3x3.
Так как Аij=(–1)i+jMij, то
А11=(–1)1+1·М11= =1;A12=(–1)1+2· = –13; A13=(–1)1+3· =17
A21=(–1)2+1· =9; A22=(–1)2+2· =3; А23=(–1)2+3· = –7
А31=(–1)3+1· = –7;A32=(–1)3+2· =11; A33=(–1)3+3· =1
Таким образом, Ã =
Свойства определителей:
1. При транспонировании матрицы её определитель не изменится.
2. Если все элементы какой-либо строки (столбца) умножить на одно и тоже число, то определитель умножится на это число.
3. Если поменять местами 2 строки (столбца) определителя, то последний изменит знак, отсюда следует, что определитель, имеющий одинаковые строки (одинаковые столбцы) равен нулю.
4. Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то и сам определитель можно представить в виде суммы определителей вида:
5. Если к элементам некоторой строки(столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на любой общий множитель, то величина определителя не изменится.
6. Сумма произведений какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения равна определителю:
det A = ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin , i= 1, n,
det A = a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj , j=1, n.
7. Сумма произведений какой-либо строки (столбца) на алгебраические дополнения другой строки (столбца) равна нулю.
ai1Ak1+ai2Ak2+…+ainAkn=0, i= 1, n, k= 1, n, i№k
a1jA1p+a2jA2p+…+anjAnp=0, j= 1, n, p= 1, n, j№ p
Пример 5: Вычислить определитель |A|= , разложив его по элементам любой строки (столбца).
Решение. Вычислим |A|, разложив его по элементам первого столбца.
=2·А11+5·А21+1·А31=2·(–1)1+1· +5·(–1)2+1· +1·(–1)3+1 =
=2· (–6–2)–5· (9–8)+1· (3+8)= –16–5+11= –10.
Замечание. Удобно вычислять определитель по элементам той строки(столбца), которая содержит наибольшее число нулей.
Пример 6. Вычислить определитель примера 5, используя свойства 5 и 6.
Решение: Используя свойство 5, получим в третьей строке два нуля и разложим вновь полученный определитель по третьей строке.
Метод разложения определителя по элементам строки(столбца) используется для вычисления определителей любого порядка.
Пример 7. Вычислить определитель |A|=
Решение: Разложим |А| по элементам первого столбца:
=2·(–1)2+1 = –2· =
= –2·2(–1)4+4 = –4 = –4·1·(–1)2+1· = 4·(–2)= –8
Задачи для самостоятельного решения.
1-3. Вычислить определители второго порядка.
1. ; 2. ; 3. ;
4-7. Вычислить определители третьего порядка.
4. ; 5. ; 6 ; 7 .
8. Решить уравнение:
= 0
9. Дана матрица А= .
а) Вычислить определитель |А|.
б) Найти миноры всех элементов аij
10-13. Вычислить определители:
10. ; 11. ; 12. ; 13. .
Ответы: 1: -2; 2: 1; 3: cos(a+b); 4: -3; 5: 1; 6: 1; 7: 1; 8: x= -4±; 9: a) 1, б) М11= -1; M12= -1; M13=1; M21= -1; M22= -1; M23= -1; M31=1; M32= -1; M33= -1. 10: -3; 11:-9; 12: 0; 13: 0.
