Матрицей размерности (m x n) называется прямоугольная таблица из m·n чисел aij (элементов матрицы): , где m – число строк матрицы, n – число столбцов, аij – элемент стоящий в i-ой строке и j-том столбце
(i = 1, m; j = 1, n).
Столбец – это матрица размерности (m x 1). Строка – это матрица a = (a1 a2 ... an) размерности (1xn). Матрица размерности (nxn) называется квадратной порядка n.
Квадратная матрица называется треугольной, если все ее элементы, расположенные выше или ниже главной диагонали равны нулю.
.
Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, кроме элементов главной диагонали равны нулю.
.
Квадратная матрица называется единичной, если она диагональная матрица и все элементы, стоящие на главной диагонали равны единице.
.
Операции над матрицами.
Пусть даны матрицы A = (аij)mxn и B = (bij)mxn.
1. Равенство матриц.
А = В тогда и только тогда, когда aij = bij (i = 1, m; j = 1, n).
2. Сложение матриц.
Суммой матриц А+В называется матрица С = А + В, где cij = aij + bij (i = 1, m; j = 1, n). Из определения операции сложения следуют свойства:
а) А + В = В + А.
б) (А + В) + С = А + (В + С).
3. Умножение матрицы на число l.
В = l · А, где bij = laij (i = 1, m; j = 1, n), т. е. каждый элемент матрицы А умножается на число l.
Свойства операции умножения на число.
Пусть А, В – матрицы, l, m – числа.
а) l(А + В) = lА + lВ.
б) (l + m)А = lА + mА.
в) (lm)А = l(mА).
Из операций 2 и 3 следует:
I. A + 0 = A, где А = (аij)mxn; 0 = (0ij)mxn – нулевая матрица.
II. Для матрицы А существует единственная матрица –А=(-1)·А, такая, что А + (–А) = 0.
III. Существует операция обратная сложению, называемая вычитанием, т.е. если В + С = А, то С = А – В называется разностью матриц А и В.
4. Произведение строки на столбец.
Если a = (a1 a2 ... an) и , то ab = a1b1 + a2b2 + ... + anbn.
5. Произведение матриц.
Если А = (аij)mxp и B = (bij)pxn, то матрица С = А·В = (сij)mxn, где – произведение i-той строки матрицы А на j-тый столбец матрицы В.
Замечание. Произведение А·В определено, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.
Из определения операции умножения следует, что в общем случае А·В № В·А. Если А·В = В·А, то матрицы А и В называются коммутативными (перестановочными).
Свойства операции умножения матриц.
а) А·0 = 0·А = 0.
б) А·Е = Е·А = А.
в) (А+В)·С = А·С + В·С.
г) А(В + С) = А·В + А·С.
д) (А·В)·С = А·(В·С).
6. Транспонирование матрицы.
Транспонированной матрицей называется матрица, у которой строки заменены столбцами. Такая матрица обозначается АТ. Итак, если А = (aij)mxn, то AT = (aji)nxm.
Операция транспонирования обладает свойствами:
а) (АТ)Т = А
б) (А + В)Т = АТ + ВТ
в) (aА)Т = aАТ, где a – число.
г) (А·В)Т = ВТ·АТ.
Рассмотрим некоторые примеры с решениями.
Пример 1. Заданы матрицы . Вычислить 2А – 3В.
Решение:
Используя произведение числа l на матрицу, имеем .
Следовательно, .
Пример 2. Найти произведение А·В, если A=(2 -3 0), .
Решение.С = А·В = (с11), где с11 = 2 · 4 + (-3) · 3 + 0 · 1 = -1. Итак, А·В = (-1).
Пример 3. Найти произведение А·В, если .
Решение. С = А·В = , где
с11=3·1 + 0·0 + 1·0=3, с12=3·0 + 0·1 + 1·0=0 , с13=3·0 + 0·0 + 1·1=1
с21=1·1+1·0+(-1)·0=1, с22=1·0+1·1+(-1)·0=1, с23=1·0+1·0+(-1)·1=-1
с31=4·1+2·0+(-1)·0=4, с32=4·0+2·1+(-1)·0=2, с33=4·0+2·0+(-1)·1=-1
Итак, .
Пример 4. Вычислить .
Решение. Очевидно, что (используется правило умножения матриц).
Пример 5. Найти значение многочлена f(A) от матрицы А:
f(x) = x2 – 3x + 1; .
Решение. f(A)=A2 - 3A + E, где .
Используя, правило умножения матриц, найдем .
Используя правило умножения матрицы на число, найдем .
Следовательно, .
Пример 6. Транспонировать матрицу .
Решение. По определению, чтобы получить матрицу АТ, нужно в матрице А заменить строки столбцами, т.е. .
Задачи для самостоятельного решения.
1.-7. Заданы матрицы.
1. Определить размерности всех матриц.
2. Выписать элементы матриц A и F: а12, а32, f33, f34.
3. Указать квадратные, диагональные, единичные, треугольные матрицы.
4. Вычислить матрицы А+В, А+В-С, D+Е.
5. Проверить равенства А+В=В+А, А+(В+С)=(А+В)+С.
6. Доказать, что для любых вещественных a и b: (a+b)А=aА+bА, a(А+В)= aА+aВ, (ab)А=a(bА).
7. Вычислить 2А+2В: 2Ч(3А), 2А+3В-С, D-2Е.
8.-11. Найти произведение матриц АЧВ и ВЧА. Есть ли среди матриц А и В - коммунитативные матрицы?
8. . 9. . 10. .
11. .
12. Найти значение многочлена f(A) от матрицы А: f(x)=3x2-4; A = .
13.-16. Транспонировать матрицы:
13. , 14. , 15. , 16. .
17. Среди следующих матриц А,В,С,D перечислить пары (с учетом порядка сомножителей), для которых определено произведение. Указать при этом размерность матрицы - произведения:
.
Ответы:
1: А=(aij)3ґ2, B=(bij)3ґ2, C=(cij)3ґ2, D=(dij)3ґ3, E=(eij)3ґ3, F=(fij)4ґ4;
2: a12=-1, a32=-3, f33=4, f34=-1;
3: Квадратные D,E,F; диагональные D,E; единичная Е; треугольная F;
4: ;
7: ;
8: ;
9: ;
10: АЧВ = 31, ВЧА = 31;
11: ;
12: f(A) = , 13: , 14: , 15: ;
16: ;
17: (АЧВ)2ґ2, (ВЧА)3ґ3, (АЧС)2ґ3, (AЧD)2ґ1, (CЧD)3ґ1, не существуют произведения ВЧС, ВЧD, CЧA, DЧA.
