Пусть А – квадратная матрица порядка n. Матрица А–1 называется обратной для матрицы А, если
А·А–1 = А–1·А = Е, где Е – единичная матрица порядка n. Если матрица А – невырожденная, т.е. det A№1; 0, то обратная матрица А–1 существует и может быть вычислена по формуле , (1) где Aij – алгебраические дополнения элементов в aij ( i = 1, n; j = 1, n) матрицы А.
Пример 1. Найти обратную матрицу А–1 для матрицы .
Решение: Вычислим определитель det A и алгебраические дополнения Aij элементов aij ( i = 1, 3; j = 1, 3).
Обратную матрицу запишем по формуле (1):
.
Правильность ответа проверим, убедившись в справедливости А·А-1=А·А=Е. Достаточно убедится, что
А· А-1=Е.
Системой n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными называется система вида:
, (2)
где aij – коэффициенты системы ( i = 1, n; j = 1, n); х1, x2,…, xn – неизвестные; b1, b2,…, bn – свободные члены.
Система (2) называется неоднородной системой. Она допускает эквивалентную матричную запись: А·Х=В, (3)
где А=(aij)nґn – матрица системы, – столбец неизвестных, – столбец свободных членов.
Систему (2) или (3) будем называть крамеровской, если det A№0. Крамеровская система имеет единственное решение, которое может быть найдено с помощью обратной матрицы по формуле:
Х = А–1ЧВ, (4)
либо по формулам Крамера: , (5)
где D = det A – определитель матрицы системы, Dk – определитель, полученный из D заменой его k-ого столбца столбцом свободных членов.
В случае, если det A = 0, но хотя бы один из определителей Dk ( k = 1, n) не равен нулю, то система (2) не имеет решения. Более подробно этот вопрос будет рассмотрен в теме 6.
Пример 2. Найти решение крамеровской системы уравнений .
а) с помощью обратной матрицы,
б) по формулам Крамера.
Решение: а) Запишем систему уравнений в матричном виде: AЧ X = B, где .
Обратная матрица А–1 была вычислена в примере 1, с ее помощью находим решение системы:
.
Итак, , следовательно .
б) Найдем определители D и Dk (k = 1, 3): D = det A = 24.
.
По формулам Крамера (5), получаем: .
Задачи для самостоятельного решения.
Для заданных матриц найти обратные и сделать проверку:
Используя обратные матрицы, найденные в предыдущем задании, решить матричные уравнения АЧХ = В, если:
.
Решить системы уравнений с помощью обратной матрицы и формул Крамера.
Ответы:
1: 1) , 2) , 3) ,4) , 5) ,
6) , 7) .
2: 1) , 2) .1) x=2; 2) x=3; 3) x=1; 4) x=1; 5) x=1; 6) x=2; 7) x=0
y=3 y=-2 y=1 y=3 y=2 y=-3 y=0
z=2 z=1 z=5 z=-1 z=-2 z=0
