Тема 3 Обратные матрицы. Решение систем линейных алгебраичес - Форум www.Sefirut.ru - разработка шаблонов, сайтов, иконок, скриптов, создание сайтов набережные челны, студия веб-дизайна в Набережных Челнах, раскрутка и продвижение сайтов в интернете
| Сегодня Пятница 09.12.2016

Sefirut.ru Тема 3 Обратные матрицы. Решение систем линейных алгебраичес - Форум

[ Новые сообщения | Участники | Правила форума | Поиск ]
  • Стандартный размер шрифта
  • Большой размер шрифта
  • Огромный размер шрифта
Страница 1 из 11
Модератор форума: Sef 
Форум » Обучение и полезная информация » Алгебра и геометрия » Тема 3 Обратные матрицы. Решение систем линейных алгебраичес
Тема 3 Обратные матрицы. Решение систем линейных алгебраичес
AdminДата: Пятница, 15.01.2010, 20:46 | Сообщение # 1
Admin
Группа: Администраторы
Сообщений: 69
Награды: 1
Репутация: 100
Статус: Offline
Пусть А – квадратная матрица порядка n. Матрица А–1 называется обратной для матрицы А, если
А·А–1 = А–1·А = Е, где Е – единичная матрица порядка n. Если матрица А – невырожденная, т.е. det A№1; 0, то обратная матрица А–1 существует и может быть вычислена по формуле , (1)

где Aij – алгебраические дополнения элементов в aij ( i = 1, n; j = 1, n) матрицы А.

Пример 1. Найти обратную матрицу А–1 для матрицы .

Решение: Вычислим определитель det A и алгебраические дополнения Aij элементов aij ( i = 1, 3; j = 1, 3).

Обратную матрицу запишем по формуле (1):

.

Правильность ответа проверим, убедившись в справедливости А·А-1=А·А=Е. Достаточно убедится, что
А· А-1=Е.

Системой n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными называется система вида:

, (2)

где aij – коэффициенты системы ( i = 1, n; j = 1, n); х1, x2,…, xn – неизвестные; b1, b2,…, bn – свободные члены.

Система (2) называется неоднородной системой. Она допускает эквивалентную матричную запись: А·Х=В, (3)
где А=(aij)nґn – матрица системы, – столбец неизвестных, – столбец свободных членов.

Систему (2) или (3) будем называть крамеровской, если det A№0. Крамеровская система имеет единственное решение, которое может быть найдено с помощью обратной матрицы по формуле:

Х = А–1ЧВ, (4)

либо по формулам Крамера: , (5)

где D = det A – определитель матрицы системы, Dk – определитель, полученный из D заменой его k-ого столбца столбцом свободных членов.

В случае, если det A = 0, но хотя бы один из определителей Dk ( k = 1, n) не равен нулю, то система (2) не имеет решения. Более подробно этот вопрос будет рассмотрен в теме 6.

Пример 2. Найти решение крамеровской системы уравнений .

а) с помощью обратной матрицы,
б) по формулам Крамера.

Решение: а) Запишем систему уравнений в матричном виде: AЧ X = B, где .

Обратная матрица А–1 была вычислена в примере 1, с ее помощью находим решение системы:

.

Итак, , следовательно .

б) Найдем определители D и Dk (k = 1, 3): D = det A = 24.

.

По формулам Крамера (5), получаем: .
Задачи для самостоятельного решения.
Для заданных матриц найти обратные и сделать проверку:

Используя обратные матрицы, найденные в предыдущем задании, решить матричные уравнения АЧХ = В, если:
.
Решить системы уравнений с помощью обратной матрицы и формул Крамера.

Ответы:
1: 1) , 2) , 3) ,4) , 5) ,
6) , 7) .
2: 1) , 2) .1) x=2; 2) x=3; 3) x=1; 4) x=1; 5) x=1; 6) x=2; 7) x=0
y=3 y=-2 y=1 y=3 y=2 y=-3 y=0
z=2 z=1 z=5 z=-1 z=-2 z=0


Флуд это зло !
Не флудить ! Не материться !
А иначе в первый раз бан на неделю а потом на месяц и больше...
 
Форум » Обучение и полезная информация » Алгебра и геометрия » Тема 3 Обратные матрицы. Решение систем линейных алгебраичес
Страница 1 из 11
Поиск: